2115: [Wc2011] Xor
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Description
Input
第一行包含两个整数N和 M， 表示该无向图中点的数目与边的数目。 接下来M 行描述 M 条边，每行三个整数Si，Ti ，Di，表示 Si 与Ti之间存在 一条权值为 Di的无向边。 图中可能有重边或自环。
Output
仅包含一个整数，表示最大的XOR和（十进制结果）,注意输出后加换行回车。
Sample Input
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2
Sample Output
HINT
Source
【题解】：
这道题要求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。那么 在图上作图尝试之后就会发现，路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现，来回走是没有任何意义的，因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大，所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径，把这条路径上的xor和作为ans初值（先不管为什么可行），然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然，我们需要预处理出图上所有的环，并处理出所有环的环上xor值，这当然是dfs寻找，到n的路径的时候顺便求一下就可以了。
当我们得到了若干个环的xor值之后，因为是要求xor最大值，我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后，再用ans在线性基上取max就可以了。
现在我们来讨论上述做法的可行性。
第一种情况：我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远，这样的话，因为至少可以保证1可以到达这个环，那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回，这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效，但是环上的xor值被我们得到了，所以我们并不关心这个环和主路径的关系，我们只关心环的权值。
第二种情况：我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n，那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环，也就会被纳入线性基中，也会被计算贡献，假如这个环会被经过，那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径，抵消之后走了一次这个最优路径，所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值，都可以通过与更优情况构成环，然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。
这样我们就可以完美解决了。我第一次WA了一发，因为我没有考虑到ans初值不为0，在线性基上取到xor的max的时候，不能单纯以ans这一位是否为0来决定是否异或上基的这一位，必须要看异或之后取一个max做一个判断才行。
题解转自：
【代码】：
#include#include using namespace std;typedef long long ll;ll read(){ ll x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x;}const int N=5e4+10;struct node{ int v,next; ll w;}e[N<<2];int n,m,head[N],tot,cir,cnt;ll bin[65],dis[N],w[N*50];bool vis[N];void add(int x,int y,ll z){ e[++tot].v=y;e[tot].w=z;e[tot].next=head[x];head[x]=tot; e[++tot].v=x;e[tot].w=z;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;}void dfs(int x){ vis[x]=1; for(int i=head[x];i;i=e[i].next){ int v=e[i].v; if(!vis[v]){ dis[v]=dis[x]^e[i].w; dfs(v); } else w[++cir]=dis[v]^dis[x]^e[i].w; }}void Gauss(){ for(ll i=bin[60];i;i>>=1){ int j=cnt+1; for(;j<=cir&&!(w[j]&i);j++); if(j==cir+1) continue; cnt++; swap(w[cnt],w[j]); for(int k=1;k<=cir;k++){ if(k!=cnt&&(w[k]&i)){ w[k]^=w[cnt]; } } }}int main(){ bin[0]=1;for(int i=1;i<=60;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1; n=read();m=read(); for(int i=1;i<=m;i++){ int u=read(),v=read(); ll w=read(); add(u,v,w); } dfs(1);Gauss(); ll ans=dis[n]; for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=max(ans,ans^w[i]); printf("%lld",ans); return 0;}